Ohne Einstellungen druckt Picasa keine Texte, vor allen Dingen nicht ins Bild.
Mit anderen Worten: Das Datum wurde schon in der Kamera eingefügt - auf Pixelebene. Das macht die Kamera, wenn man sie entsprechend einstellt (S. 67 des Handbuches).
Wenn das Datum neuerdings nicht mehr zu sehen ist, hat jemand die Einblendung des Datums deaktiviert (zufällig oder bewußt, das sei mal dahingestellt). Falls dies nicht der Fall ist, handelt es sich um einen Defekt in der Kamera. Du könntest mal die Kamera auf die Werkseinstellungen zurücksetzen (Handbuch S. 137) und dann den Datumsaufdruck neu aktivieren. Wenn das nichts bringt, ist das ein Fall für den Service. Außerhalb der Garantiezeit (12 Monate ab Kauf) lohnt das aber nicht wirklich, weil die Kosten inkl. Versand den augenblicklichen Neupreis (ca. 65 Euro) vermutlich übersteigen. Abgesehen davon gibt es andere Möglichkeiten, das Aufnahmedatum zu erkennen (hatte ich oben schon geschrieben) und auch nachträglich als Text ins Bild einzufügen (am besten in eine Kopie, damit man noch das unbeschädigte Original hat). Diesen Vorgang kann man auch automatisieren (Batch-Betrieb). Wenn dich das interessiert, kann ich gerne mehr dazu sagen.